Estabilidad de Sistemas en Control

Analizar la estabilidad en los sistemas a controlar.

Un sistema es estable si converge a un valor diferente de infinito

La estabilidad puede ser verificada con diferentes métodos:

• Respuesta Temporal
• Matriz de Routh
• Polos y Ceros
• Mapa de polos y ceros
• Root Locus

Recomiendo verificar por todos los métodos el sistema para estar seguro de que se tiene un sistema estable.

Verificar Estabilidad en el Sistema masa-resorte-amortiguador

Para verificar la estabilidad del sistema masa-resorte-amortiguador. Llevemos cada uno de los parametros del sistema a la zona de signos negativos. En el siguiente simulador.

simulacion(1,1,1)

¿Cómo los parámetros influyen en la estabilidad?

masa	resorte	amortiguador		Estable
$+$	$+$	$+$
$+$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$+$
$-$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$
$-$	$-$	$-$

Si la respuesta temporal de un sistema diverge entonces se considera inestable.

Matriz de Routh

Para verificar estabilidad con la matriz de Routh, primeramente se debe contruir, siguiendo los pasos descritos:

1. Sacar el polinomio carasteristico (lo que es igual al deominador de la funcion de transferencia). $$a\,s^3+b\,s^2+c\,s+d = 0$$
2. Ubicar los coefficientes del polinomio en las dos primeras filas de la tabla. $$ \begin{array}{ccc} s^3 & a & c \\ s^2 & b & d \\ s^1 & \mathcal{R} & \\ s^0 && \\ \end{array} $$
3. Completar las filas de la tabla hasta la fila $s^0$, siguiendo este cálculo como ejemplo a la tabla anterior: $$\mathcal{R} = (b\cdot c - a\cdot d)/b$$

Matriz de Routh Aplicado al sistema masa-resorte-amortiguador

$$ \begin{array}{ccc} s^2 & m & k \\ s^1 & c & \\ s^0 & k & \\ \end{array} $$

La estabilidad en la matriz de Routh esta representada por los signos de la primer columna en la matriz. Si todos los elementos de dicha columna tienen el mismo signo, entonces el sistema es estable.

Polos y ceros

Otra forma de verificar la estabilidad del sistema es mirando los polos y los ceros de este.

• Cero : valor de $s$ que hace cero el numerador de la función de transferencia.
• Polo : valor de $s$ que hace cero el denominador de la función de transferencia.

Todos los polos deben tener parte real negativa para que el sistema sea estable.

m = 1                 # Parametros
c = 2
k = 4
s = tf([1,0],1)       # Variable de Laplace
G = 1/(m*s**2+c*s+k)  # Funcion de transferencia

print("La funcion de transferencia es :")
print(G)
print("Los polos que posee son:\n")
print(pole(G))
print("\nLos ceros que posee son:\n")
print(zero(G))

La funcion de transferencia es :

      1
-------------
s^2 + 2 s + 4

Los polos que posee son:

[-1.+1.73205081j -1.-1.73205081j]

Los ceros que posee son:

[]

Se puede observar que la parte real de los polos es negativa por lo tanto el sistema es estable.

Mapa de Polos y Ceros

Este mapa es la represtación gráfica de estos valores en el plano complejo.

• La parte real en el eje horizontal
• La parte imaginaria en el eje vertical

De la función de transferencia anterior:

pzmap(G)

(array([-1.+1.73205081j, -1.-1.73205081j]), array([], dtype=float64))

Ejercicio

Modelizar y análizar el siguiente sistema:

El sistema tiene tres entradas, la gravedad $g$, la fuerza manipulada $F_m$ y el perfil de la carretera $c$, y tiene cinco parámetros son:

$$ m=2500\text{kg} \quad m_r=320\text{kg} \quad k_s=80000\text{N/m} \quad k_r=500000\text{N/m}\quad c_S=350\text{Ns/m} $$