Espacio de Estados

Describir los sistemas en el espacio de estados y encontrar un controlador para esta representación.

Representación en el espacio de estados

Es una representación matricial de un sistema lineal la cual permite representar sistemas MIMO (multiple-input multiple-output) entre otros. La representación cuenta con dos ecuaciones:

• La ecuación de estado:

$$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}+B\mathbf{u}$$

• La ecuación de salida:

$$\mathbf{y}=C\mathbf{x}+D\mathbf{u}$$

donde $\mathbf{x}$ es el vector de estados, $\mathbf{y}$ es el vector de salidas, $\mathbf{u}$ es el vector de entradas, $A$ es la matriz de estado, $B$ es la matriz de entrada, $C$ es la matriz de salida y $D$ es la matriz de transmision directa.

Matrices del espacio de estados

• $A$ También conocida como la matriz dinámica, es la matriz más importante ya que contiene las leyes físicas que describe el sistema.
• $B$ También conocida como la matriz de los actuadores. Muestra como las entradas afecta los estados, valores de B más grandes implica actuadores más poderosos. Esta matriz nos describe el comportamiento de los actuadores.
• $C$ También conocida como la matriz de los sensores. Describe como podemos nosotros recibir información del sistema.

Cuando nosotros diseñamos un sistema estamos diseñando dichas matrices.

Para el control del sistema, la pregunta es:

$$\textbf{¿Cómo debe ser la entrada seleccionada?}$$

para lograr que el sistema haga lo que yo quiero.

Estudiemos el espacio de estados

Para esto usaremos la ecuación diferencial de un sistema masa-resorte-amortiguador (MKC).

t,m,c,k = sympy.symbols('t m c k')
F = sympy.Function('F')(t)
x = sympy.Function('x')(t)

eqMKC = sympy.Eq(F,m*sympy.diff(x,t,2)+c*sympy.diff(x,t)+k*x)
display(eqMKC)

$\displaystyle F{\left(t \right)} = c \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + k x{\left(t \right)} + m \frac{d^{2}}{d t^{2}} x{\left(t \right)}$

Inicialmente construyamos un diagrama de bloques que represente esta ecuación.

Diagrama de bloques del sistema MKC

Se evidencia el uso de dos bloques integradores. El uso de estos bloques da indicios de los estados de este sistema, de cada bloque integrador tenemos, la posición $x(t)$ y la velocidad $\dot{x}(t)$ de la masa. Estos son los estados del sistema.

Construccion del vector de estados $x$

Sabemos del diagrama de bloques que la posición $x(t)$ y la velocidad $\dot{x}(t)$ son los estados del sistema.

Con estos podemos construir el vector de estados:

$$\mathbf{x} = \left[\begin{array}{}\dot{x}(t)\\{x}(t)\end{array}\right] =\left[\begin{array}{}x_1\\x_2\end{array}\right]$$

Con $x_1$ y $x_2$, podemos reescribir la ecuación diferencial como:

x1, x2, dx1, dx2 = sympy.symbols('x_1 x_2 \dot{x}_1 \dot{x}_2')

eqMKC = eqMKC.subs(sympy.diff(x,t,2),dx1)
eqMKC = eqMKC.subs(sympy.diff(x,t),x1)
eqMKC = eqMKC.subs(x,x2)

sol_dx1 = sympy.Eq(dx1,sympy.expand(sympy.solve(eqMKC,dx1)[0]))
sol_dx2 = sympy.Eq(dx2,x1)
display(sol_dx1)

$\displaystyle \dot{x}_1 = - \frac{c x_{1}}{m} - \frac{k x_{2}}{m} + \frac{F{\left(t \right)}}{m}$

Falta la expresion para $\dot{x}_2$. La cual es simplemente

$\dot{x}_2 = x_1$

De aquí ya podemos construir la ecuación de estado.

Ecuación de estado para el sistema MKC

De la ecuaciones anteriores podemos contruir la ecuación matricial de estados:

MA = sympy.Symbol('A'); display(MA)
mA = sympy.Matrix([[-c/m,-k/m],[1,0]])
display(mA)

MD = sympy.Symbol('D'); display(MD)
display(sympy.Matrix([1/m,0]))

$\displaystyle A$

$\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{c}{m} & - \frac{k}{m}\\1 & 0\end{matrix}\right]$

$\displaystyle D$

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{1}{m}\\0\end{matrix}\right]$

Estabilidad del sistema MKC

Para verificar la estabilidad del sistema debemos evaluar los valores propios ($\lambda$) de la matriz $A$:

$$I-\lambda A$$

para encontrarlo encontremos la ecuación caracteristica con $\textbf{det}(I-\lambda A)$:

l = sympy.Symbol('\lambda')
caract = (sympy.eye(2)-l*mA).det();
display(caract)

$\displaystyle \frac{\lambda^{2} k}{m} + \frac{\lambda c}{m} + 1$

de aquí los valores propios son:

display(mA.eigenvals())

$\displaystyle \left\{ - \frac{c}{2 m} - \frac{\sqrt{c^{2} - 4 k m}}{2 m} : 1, \ - \frac{c}{2 m} + \frac{\sqrt{c^{2} - 4 k m}}{2 m} : 1\right\}$

Vemos que son los mismos polos del sistema MKC si lo analizamos de forma clásica.

Una particula en una linea recta sin fricción

Diseñemos un control proporcional para el sistema propuesto, utilizando el espacio de estados.

$$m \ddot{x} = F$$

La ecuación de estado quedaría asi (con $m=1$).

$$\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{}0&1\\0&0\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{}0\\1\end{array}\right]\mathbf{u}$$

La ecuación de salida sería.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{}1&0\end{array}\right]\mathbf{x}$$

Control de la particula

Si queremos controlar el sistema con un lazo cerrado debemos conectar de alguna forma la salida $\mathbf{y}$ con la entrada $\mathbf{u}$

plt.plot([-2,2],[0,0])
plt.plot([0,0],[-1,1],color='r')
plt.plot([-1],[0],color='k',marker='.',markersize=30)
plt.xlim(-2,2);

El objetivo de control es que se mueva al origen. ¿Cómo lo logramos?

$$\left.\begin{array}{}u>0 \text{ si } y<0 \\ u<0 \text{ si } y>0\end{array}\right\}\qquad \to \qquad u=-y$$

Modificación de la dinamica del sistema

En general tenemos:

$$\mathbf{u}=-K\mathbf{y} = -KC\mathbf{x} $$

entonces:

$$\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}=A\mathbf{x}-BKC\mathbf{x} = \left(A-BKC\right)\mathbf{x}$$

tenemos aquí un nuevo sistema, el sistema en lazo cerrado.

$$\dot{\mathbf{x}} = \left(A-BKC\right)\mathbf{x}=\hat{A}\mathbf{x}$$

nuestro trabajo ahora es seleccionar $K$ de tal forma que los valores propios de la matriz $\hat{A}$ den por lo menos un sistema estable.

La matriz de estado del sistema en lazo cerrado

Remplazamos los valores de las matrices y de $K=1$:

$$\hat{A}=\left(A-BKC\right)=\left(\left[\begin{array}{}0&1\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{}0\\1\end{array}\right]1\left[\begin{array}{}1&0\end{array}\right]\right)$$

mA = sympy.Matrix([[0,1],[0,0]])-sympy.Matrix([0,1])*1*sympy.Matrix([[1,0]])
display(mA)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]$

Analizando los valores propios del sistema tenemos que:

display(mA.eigenvals())

$\displaystyle \left\{ - i : 1, \ i : 1\right\}$

El sistema es criticamente estable.

Respuesta de la particula al lazo cerrado

Con el controlador propuesto, la particula se comporta como se muestra.

display(ani)

¿Por qué no se queda en el origen si este es el objetivo?

• No tenemos en cuenta la velocidad.
• Necesitamos la información del estado (posición,velocidad) del sistema para estabilizarlo.

Estabilizando la particula

Para estabilizar la particula necesitamos conocer la información de todos los estados del sistema. Salvo que en nuestro sistema solo tenemos un sensor de posición:

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{}1&0\end{array}\right]\mathbf{x}$$

El estado desconocido es la velocidad, el cual puede ser estimado de la posición. Por ahora supongamos que podemos medir ambos estados.

$$\mathbf{y}_{supuesto}=\left[\begin{array}{}1&0\\0&1\end{array}\right]\mathbf{x}$$

con esta nueva matriz $C$, proponemos un controlador $K$:

$$K = \left[\begin{array}{}k_1&k_2\end{array}\right]$$

Encontremos la nueva matriz $\hat{A}$ para el sistema en lazo cerrado.

Nueva matriz de estado del sistema en lazo cerrado

Recordemos que aquí estamos suponiendo que podemos medir ambos estados del sistema (posición y velocidad). Remplazamos los valores de las matrices y de $K$:

$$\hat{A}=\left(A-BKC\right)=\left(\left[\begin{array}{}0&1\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{}0\\1\end{array}\right]\left[\begin{array}{}k_1&k_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{}1&0\\0&1\end{array}\right]\right)$$

Luego $\hat{A}=$

k1,k2 = sympy.symbols('k_1 k_2')
mA3 = sympy.Matrix([[0,1],[0,0]])-sympy.Matrix([0,1])*sympy.Matrix([[k1,k2]])*sympy.Matrix([[1,0],[0,1]])
display(mA3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 1\\- k_{1} & - k_{2}\end{matrix}\right]$

Los valores propios o polos del sistema son:

eigen = mA3.eigenvals()
display(eigen)

$\displaystyle \left\{ - \frac{k_{2}}{2} - \frac{\sqrt{- 4 k_{1} + k_{2}^{2}}}{2} : 1, \ - \frac{k_{2}}{2} + \frac{\sqrt{- 4 k_{1} + k_{2}^{2}}}{2} : 1\right\}$

Escogamos los valores del controlador

polos(3,2)

Verifiquemos el comportamiento de la particula

Tomemos los valores para el controlador $k_1=1$ y $k_2=2$:

display(ani)

Posicionamiento de polos

El posicionamiento de polos nos permite definir el comportamiento deseado del sistema. Tomemos como ejemplo es caso anterior de la particula, cuya ecuación de estados se presenta a contuación:

$$\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{}0&1\\0&0\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{}0\\1\end{array}\right]\mathbf{u}$$

A traves de la libreria de control de python, podemos obtener los valores del controlador que nos permita tener de comportamiento deseado. Con contro.place(A,B,poles) obtenemos los siguientes valores para los polos [-1,-2]

A4 = [[0,1],[0,0]]
B4 = [[0],[1]]

display(control.place(A4,B4,[-1,-2]))
#display(control.acker(A4,B4,[-1,-2]))

matrix([[2., 3.]])

Contra ejemplo

Con el siguiente sistema no se le puede ubicar los polos.

$$\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{}2&0\\1&1\end{array}\right]\mathbf{x}+\left[\begin{array}{}1\\1\end{array}\right]\mathbf{u}$$

El controlador para dicho sistema seria:

A4 = [[2,0],[1,1]]
B4 = [[1],[1]]

display(control.place(A4,B4,[-21,-20]))

matrix([[-6.36905167e+15,  6.36905167e+15]])